Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник; боковые грани, проходящие через его...

Question

Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник; боковые грани, проходящие через его катеты, перпендикулярны к плоскости основания. Наклонные боковые ребра равны 2дм и 3дм, они образуют с плоскостью основания углы, которые относятся как 2:1. Найдите объем пирамиды

Answer 1

ОАВС-пирамида, АВС-основание, В-прямой угол. V=1/3*S(ABC)*H. а-меньший угол, 2а-больший угол.

Н=3sina,  H=2sin2a,

3sina=2sin2a

3sina=4sinacosa

9sin^2(a)=16sin^2(a)cos^2(a)

sin^2(a)(9-16cos^2(a)=0, так как cos^2(a)=1-sin^2(a), то

sin^2(a)(9-16+16sin^2(a)=0

16sin^4(a)-7sin^2(a)=0

sin^2(a)(16sin^2(a)-7)=0

sin^2(a)=0 тогда а=0-не является решением

(16sin^2(a)-7)=0

sin^2(a)=7/16

sin(a)=√7/16

H=3√7/4дм

Найдем катеты треуг. АВС

АВ^2=4-63/16=1/16,  AB=1/4дм

BC^2=9-63/16=81/16,  BC=9/4дм

S(ABC)=1/2*1/4*9/4=9/32дм^2

V=1/3*9/32*3√7/4=9√7/128дм^3