Сторона AB треугольника ABC равна 16 см, угол A=30 градусов, угол B=105 градусов....

0 голосов
50 просмотров

Сторона AB треугольника ABC равна 16 см, угол A=30 градусов, угол B=105 градусов.

ЗАДАНИЯ:
1) Вычислите длину стороны BC
2) Найдите меньшую сторону треугольника

ЛЮБОЙ СПАМ БУДЕТ УДАЛЕН!


Геометрия Супер бакалавр (17.7k баллов)
Дано ответов: 2
0 голосов
БОГ (181k баллов)
 
Правильный ответ

AB =16 ; ∠A =30° ; ∠B =105° .
-------
1) BC -?
2) (меньшая сторона) -?

1) AB/sin
∠C =BC/sinA   =  AC/sin∠B  = 2R (теорема синусов).
∠C =180° -(∠A +∠B )= 180° -(30° +105°) =45°.
16/sin45
° =BC/sin30°⇒
BC =15*(sin30°/sin45°) =16*(1/2) / (1/√2) =(16√2)/2 =8√2≈11,28 (см).
---
2) меньшая сторона та
, которая лежит против меньшего угла , 
эта сторона 
BC(лежит против меньшего угла ∠A=30°).  
 
длину  AC  не требуется , но :
AC /sin
∠B = AB/sin∠C ⇒AC =AB*sin(∠B)/(sin∠C)=
16* sin105°/(1/√2) =16√2sin105°=16√2*√2(√3 +1)/4 =8(√3 +1) .

sin105° =sin(180°-75°) =sin75°=sin(45°+30°) =...
или 
sin105° =sin(60°+45°) =sin60°*cos45°+cos60°*sin45°=
(√3/2)*(√2/2)+(1/2)*(√2/2) =√2(√3 +1)/4.

* * * * * * *    Второй способ    
* * * * * * *
∠C =180° -(∠A+∠B) =180° -(30°+105°) =45°.
Проведем высоту  BH⊥AC (∠AHB=90°) ⇒  Прямоугольный треугольник BHC  равнобедренный CH =BH ,т.к.  ∠C =45°.
По теореме Пифагора из 
ΔBHC:
BC =
√ (BH² +CH²) =√(2BH²) =BH√2 . Но из ΔABH  BH=AB/2 =8(как катет против угла
∠A =30°). Значит BC =BH√2 =8√2.

оставил комментарий БОГ (181k баллов)

Можно добавить новое решения без применения теорема синусов

0 голосов
БОГ (813k баллов)

По теореме синусов:

\frac{AB}{sinC} = \frac{BC}{sinA} = \frac{AC}{sinB} \\\\\ \textless \ C=180^\circ -(\ \textless \ A+\ \textless \ B)=18)^\circ -(105^\circ +30^\circ )=45^\circ \\\\BC=\frac{AB\cdot sinA}{sinC}= \frac{16\cdot sin30}{sin45} = \frac{16\cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}} =8\sqrt2\\\\AC= \frac{AB\cdot sinB}{sinC} = \frac{16\cdot sin105}{sin45} = \frac{16\cdot cos15}{\frac{\sqrt2}{2}} = \frac{16\cdot \frac{\sqrt3+1}{2\sqrt2}}{\frac{\sqrt2}{2}} =8(\sqrt3+1)\\\\AB=16\; ,\; \; BC=8\sqrt2\approx 11,3\; ,\; \; AC\approx 21,9

Меньшая сторона треугольника - ВС.

P.S.\; \; \; cos15^\circ =cos(45^\circ -30^\circ )=cos45\cdot cos30+sin45\cdot sin30=\\\\=\frac{\sqrt2}{2}\cdot \frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt2(\sqrt3+1)}{4}=\frac{\sqrt3+1}{2\sqrt2}

...