Слово "настежь" является наречием и отвечает на вопрос (как?) настежь, образовано путем слияния предлога "на" и слова "стеж", которого в русском языке просто не существует, а если нет, то смело пишем слитно - настежь.
Что касается мягкого знака на конце слова, то есть правило в русском языке, где говорится, что в наречиях после шипящих пишется "ь", кроме трех слов исключения: уж, замуж и невтерпеж.
Пишем правильно - настежь.
Он открыл дверь настежь и бросился наутек.