0 голосов
12 просмотров

1-5sinx+2cos^2x=0 , x принадлежит промежутку 3p/2;5p/2

от (15 баллов) по предмету Математика

1 Ответ

0 голосов
от Архангел (149k баллов)
 
Лучший ответ

Решаем уравнение:
1-5sinx+2cos^2x=0
\\2(1-sin^2x)-5sinx+1=0
\\sinx=y,\ y \in [-1;1]
\\2-2y^2-5y+1=0
\\2y^2+5y-3=0
\\D=25+24=49=7^2
\\y_1= \frac{-5+7}{4} = \frac{1}{2} 
\\y_2= \frac{-5-7}{4} \notin [-1;1]
\\sinx= \frac{1}{2} 
\\x_1= \frac{\pi}{6} +2\pi n,\ n \in Z
\\x_2=\frac{5\pi}{6} +2\pi n,\ n \in Z
проводим отбор корней:
нам нужны корни на промежутке [ \frac{3\pi}{2} ; \frac{5\pi}{2} ]
решаем двойное неравенство для каждого корня:
1)\frac{3\pi}{2} \leq \frac{\pi}{6} +2\pi n \leq \frac{5\pi}{2}
\\ \frac{3}{2} \leq \frac{1}{6} +2n \leq \frac{5}{2}
\\ \frac{4}{3} \leq 2n \leq \frac{7}{3} 
\\ \frac{2}{3} \leq n \leq \frac{7}{6}
отсюда n=1; x=\frac{\pi}{6}+2\pi= \frac{13\pi}{6}
2)\frac{3\pi}{2} \leq \frac{5\pi}{6} +2\pi n \leq \frac{5\pi}{2}
\\\frac{3}{2} \leq \frac{5}{6} +2n \leq \frac{5}{2}
\\ \frac{2}{3} \leq 2n \leq \frac{5}{3} 
\\ \frac{1}{3} \leq n \leq \frac{5}{6}
из 2 неравенства нет целых n, удовлетворяющих условию.
Ответ:
корни уравнения:
x_1= \frac{\pi}{6} +2\pi n,\ n \in Z \\x_2=\frac{5\pi}{6} +2\pi n,\ n \in Z
корни на промежутке [ \frac{3\pi}{2} ; \frac{5\pi}{2} ]
x=\frac{13\pi}{6}

...