Разобьем последовательность на две подпоследовательности с чётными и нечётными n.
Сгруппируем слагаемые под модулем попарно:
Если n чётно, таких скобок ровно n/2, в каждой получается -1/n, так что всё выражение равно -1/2.
Если n нечётно, скобок (n - 1)/2, в каждой по-прежнему получается -1/n, и ещё дополнительно 1 = n/n, которой не хватило пары. Значение выражения -1/2 - 1/(2n) + 1 = 1/2 - 1/(2n).
Итак, каждая из двух подпоследовательностей сходится, притом пределы совпадают, а вместе эти подпоследовательности образуют всю последовательность. Значит, и вся последовательность сходится к тому же пределу.
(На всякий случай доказательство: пусть Xn, Yn сходятся к A. Докажем, что последовательность X1, Y1, X2, Y2, ... сходится к A. По определению, для любых ε > 0 найдутся такие Nodd и Neven, что для всех n > Nodd: |Xn - A| < ε; для всех n > Neven: |Yn - A| < ε. Тогда все члены новой последовательности, с номерами, большими max(2*Nodd - 1, 2*Neven), отличаются от A меньше, чем на ε)