Четыре точки разбивают окружность ** дуги, длины которых образуют геометрическую...

0 голосов
100 просмотров

Четыре точки разбивают окружность на дуги, длины которых образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 3. найдите меньший угол между диагоналями четырехугольника, полученного путем последовательного соединения этих точек.


Геометрия Начинающий (202 баллов)
оставил комментарий БОГ (224k баллов)

перезагрузи страницу если не видно

Дан 1 ответ
0 голосов
БОГ (224k баллов)
 
Правильный ответ

Ориентир по рисунку . 
Полученный четырехугольник будет вписанным в окружность.
Так как дуги по формуле равны L=\frac{\pi*r*n}{180} , где n -  центральный угол     . 
 Пусть угол  AOD=n , дуга \wedge AD=x
 x=\frac{\pi*r*n}{180}\\
3x=\frac{\pi*r*n_{1}}{180}\\
9x=\frac{\pi*r*n_{2}}{180}\\
27x=\frac{\pi*r*n_{3}}{180}\\\\
n+n_{1}+n_{2}+n_{3}=360\\\\
n_{1}=3n\\
n_{2}=9n\\
n_{3}=27n \\
n=9а\\
n_{1}=27а\\
n_{2}=81а\\
n_{3}=243а,
 Заметим что  углы BDC \ \ BOC итд опираются на одну и ту же дугу. 
 По теореме  о вписанном угле  , вписанный     угол   BDC=\frac{BOC}{2} 
выражая все углы 
получим 
 BDC=40.5а\\
ADB=13.5а\\
CBD=121.5а\\ 
ABD=4.5а\\
ACB=13.5\\
 
 тогда угол между диагоналями 
 180-121.5-13.5=45 он самый наименьший 


image
...